Exit

Уроки онлайн

Уровень

Фракталы

Красота, очарование и странность


Фракталы - самые красивые, очаровательные и странные порождения геометрии XX века. Это детища сухой математики, но они настолько эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью компьютера потрясла мир, а книга организаторов выставки Хайнца-Отто Пайтгена и Петера Рихтера, "Красота фракталов" раскупалась как художественный альбом.
Они упорядочены, но это не упорядоченность монотонного орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.
Они геометричны, но это геометрия не идеалиста Платона, искавшего везде отполированные формы правильных многогранников, а геометрия реального мира - ветвистого, пористого, шершавого, зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя, - польский математик Мандельброт с французским именем Бенуа, проработавший большую часть жизни на американскую корпорацию IBM, - назвал свой главный труд "Фрактальная геометрия природы".
Козьма Прутков говорил: "Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий". Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

" Облака не сферы, горы - не конусы, 
линии берегов - не окружности,
и негладка древесная кора и непрям путь молнии"
Бенуа Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, 1982
Основное свойство фракталов - самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.
Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах, - бесконечная лестница вглубь.
Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной - и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактал - триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.
Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть её очень симпатичным лесом. В 3D Studio Max, например, для генерации деревьев используется фрактальный алгоритм. И это не исключение - большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы. Горы, лес и облака на картинке - фракталы.
Давно известно, что частота дыхания у животных обратно пропорциональна корню четвертой степени из веса. Это обстоятельство ставило ученых в тупик: если считать, что объем кровеносной системы пропорционален весу, то есть третьей степени размеров тела, то и частота дыхания должна изменяться как корень третьей степени из веса! Откуда природа берет четверку?  
Фрактальная геометрия жизни

В 2000 году группа исследователей из университета Нью-Мексико предложила объяснение, основанное на идее о том, что эффективно устроенная кровеносная система должна максимально заполнять объем тела. А для этого она должна быть устроена фрактально и объем такого фрактала оказывается пропорционален четвертой степени размеров.
Фракталы - это великое открытие XX века, открытие того, что простые, даже примитивные по своему устройству системы могут иметь чрезвычайно сложное поведение, не описываемое никакой простой закономерностью (например, периодической). Такое поведение хаотично, но "хаос" в данном случае означает не отсутствие порядка, а слишком сложный, нетривиальный порядок! По выражению Ю.А. Данилова из курчатовского института, "при фрактальном подходе хаос перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру".
Идея о том, что хаос, связанный с фрактальными траекториями, - это порядок, но порядок очень сложный, легла в основу музыкального редактора FractMus 2000, созданного Густаво Диасом Хересом.
Что такое музыка? Это нечто среднее между абсолютно беспорядочным шумом и абсолютно упорядоченной монотонной нотой, это свобода звуков, подчиненная строгим законам гармонии, и наоборот - это комбинирование внутренне упорядоченных звуковых конструкций по прихоти композитора. Но фрактальные траектории ведут себя очень похоже.
Программа FractMus занимается тем, что генерирует фрактальную траекторию по одному из известных алгоритмов и полученную последовательность чисел по простым правилам переводит в последовательности нот. Как источник свежих музыкальных идей программа вполне дееспособна, в чем убеждает прилагаемый к программе обширный набор пьес, которые созданы с её помощью.
"Сжатие изображений" - слова, которые не оставляют равнодушным ни одного интернетчика. Web-мастера хотят показать, а потребители увидеть большие, яркие и четкие картинки. Вот потому и бьются программисты и математики, придумывая как бы картинку побольше запихнуть в файл размером поменьше. К сожалению, красота плохо сжимаема.
В середине 80-х годов математика Майкла Барнсли из Технологического университета Джорджии осенила блестящая идея. Ну хорошо, выращивая фракталы по простым правилам можно получить очень правдоподобные листья, деревья, горы и так далее. А нельзя ли сделать наоборот: по заданной картинке найти такой компактный набор правил построения фрактала, чтобы тот, по крайней мере в каком то диапазоне масштабов, был ни отличим от исходной картинки? Тогда вместо неё можно было передавать по каналам связи и хранить на винчестере эти правила. К сожалению, пока фрактальное сжатие изображений развивается очень медленно, хотя именно эта технология была использована Microsoft при создании знаменитой энциклопедии Encarta.
Файлы фрактальных изображений имеют расширение fif. Обычно файлы в формате fif получаются несколько меньше файлов в формате jpg, но бывает и наоборот. Самое интересное начинается, если рассматривать картинки со все большим увеличением. Файлы в формате jpg почти сразу демонстрируют свою дискретную природу - появляется пресловутая лесенка. А вот fif файлы, как и положено фракталам, с ростом увеличения показывают все новую степень детализации структуры, сохраняя эстетику изображения.