Exit

Уроки онлайн

Уровень

Трехмерные вращения.

Ранее было показано, что матрица 3х3 обеспечивала комбинацию операций изменения масштаба и сдвига. Однако, если определитель матрицы 3х3 равен +1, то имеет место чистое вращение около начала координат. Перед рассмотрением общего случая трехмерного вращения вокруг произвольной оси исследуем несколько частных случаев. При вращении вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются. Таким образом, матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и первом столбце, за исключением единицы на главной диагонали. Это приводит к матрице преобразования, соответствующей повороту на угол q вокруг оси х и определяемой соотношением

(4.6)

Вращение предполагается положительным, т. е. по часовой стрелке, если смотреть из начала координат вдоль оси вращения. На рис. 4.2, а показан поворот на -90° относительно оси x.

Для вращения на угол Ф около оси у нули ставят во второй строке и втором столбце матрицы преобразования, за исключением единицы на главной диагонали. Полная матрица определяется выражением

(4.7)

 

 
Рис. 4.2. Трехмерные вращения.

На рис. 4.2, б показан поворот на 90" вокруг оси у. Аналогично матрица преобразования для вращения на угол j вокруг оси z имеет вид

(4.8)

Анализ определителей для матриц (4.6)-(4.8) показывает, что для любой матрицы вращения детерминант равен +1

Так как вращения описываются умножением матриц, то трехмерные вращения некоммутативны, т. е. порядок умножения будет влиять на конечный результат. Для того чтобы показать это, рассмотрим вращение вокруг оси х, за которым следует вращение на такой же угол вокруг оси у. Используя уравнения (4.6) и (4.7) при q = Ф, получим

(4.9)

 

 
Рис. 4.3. Некоммутативность трехмерных вращений.

Обратная последовательность действий, т. е. вращение вокруг оси у и следующее за ним вращение на такой же угол вокруг оси x при q = Ф. дает

(4.10)

На рис. 4.3 для левого верхнего изображения штриховыми линиями показаны результаты двух последовательных вращений, описанных матрицей преобразования (4.9). Изображение, полученное вращениями, выполненными в другой последовательности, описанными уравнениями (4.10), показаны сплошной линией. Из сравнения полученных изображений видно, что при изменении порядка вращения получаются разные результаты.

Часто бывает необходимо вращать изображение вокруг одной из осей декартовой системы координат.